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02 março 2011

Paradoxo da Megasena

Paradoxo da Megasena - Postado por Pedro Correia
Há no mundo da probabilidade um paradoxo aparente: a tendência do retorno a média [1] e a repetição de eventos independentes.
O paradoxo é aparente, pois o retorno a média é uma variável aleatória que possivelmente garantiria que uma determinado valor deveria acontecer após um certo número de repetições.
Essencialmente é o seguinte: Considerando uma moeda não viciada (ou dado, ou o que seja), a chance de sair cara é 1/2 e coroa é 1/2.

Pergunta 1: Qual é a chance de não sair cara em 10 repetições?

Pergunta 2: Dado que não saiu cara em 9 repetições, qual é a chance de sair cara na décima repetição?

Já adiantando, a resposta a pergunta 1 é a mesma de sair somente 10 coroas em 10 repetições. Ou seja (1/2)^10 ou 1 em 1024.

A resposta a pergunta 2 é mais curiosa: 1/2. O fator é que as repetições são independentes. Isto não é simples de ver, mas pode ser obtido da seguinte fórmula:

P(cara na décima tentativa 9 coroas nas tentativas anteriores)=P(cara na décima tentativa e 9 coroas nas tentativas anteriores)/P(9 coroas nas tentativas anteriores) = (1/2*1/512)/(1/512) = 1/2

No caso, a nossa cara tem de ocorrer na décima tentativa e por este motivo não é o mesmo que nas tentativas de Bernoulli, em que a cara pode ocorrer na primeira, segunda, terceira,..., ou décima tentativa. Neste caso temos:

P(1 cara e 9 coroas) = 10*(1/2)^9*1/2 = 10/1024

O fato é que se jogarmos a moeda 9 vezes e sair coroa, a probabilidade de sair cara na décima jogada é exatamente 50%. Note que isto parece contradizer a resposta da pergunta 1.

O que isto serve para cada um de nós? [2]

Digamos que você jogue na Megasena religiosamente a 10 anos o jogo de 1 dezena (chances de ganhar 1 em 50063860). Se você não acertou as seis dezenas ao longo das N apostas, a chance de acerta na aposta N+1 é exatamente 1 em 50063860 (e não 1 em 96154 como se imaginava pelas repetições).

Ou seja: o fato de você ter apostado 10, 20 ou 30 anos religiosamente na Megasena não aumenta em nada a sua chance de ganhar o próximo sorteio.

Texto de Leonardo de Menezes - Professor da UnB. Especialista em Engenharia Elétrica – Eletromagnetismo
[1]- Segundo Peter Berstein foi Francis Galton, em 1875, que descobriu a regressão média, que é denominado também como retorno a média. Assim, ao tomarmos uma decisão baseada na expectativa em que as coisas voltarão ao "normal", estamos empregando a noção de regressão à média. Mais um exemplo aqui.
[2]-O desenvolvimento da teoria das probabilidades se deu a partir da curiosidade dos homens em entender os jogos de azar. A compreensão de alguns desses jogos permitiu que os indivíduos tomassem decisões de modo mais racional, pois foi possível quantificar o risco a ser enfrentado, assim como entender a natureza da tomada de decisões. Além disso,em regra geral : eventos anteriores não afetam probabilidades ou riscos futuros.

28 fevereiro 2007

10 Stocks to Last the Decade

Esse é o título de um artigo publicado em 2000 pela Fortune. Listava dez empresas que estavam prontas para ... vencer. Segundo o artigo, com essas ações era possível proteger o patrimônio contra a volatilidade do mercado. Quais eram as ações?

O sítio Fool relembra as dicas da Fortune. Ao lado, o retorno desde agosto de 2000. Muito interessante a previsão:

Broadcom (Nasdaq: BRCM) = (78%)
Charles Schwab (Nasdaq: SCHW) = (51%)
Enron = Sem Palavras!!!
Genentech (Nasdaq: DNA) = 121%
Morgan Stanley (NYSE: MS)= 0%
Nokia (NYSE: NOK) = (45%)
Nortel Networks (Nasdaq: NT) = (96%)
Oracle (Nasdaq: ORCL) = (53%)
Univision = (42%)
Viacom = !!

Uma das possíveis explicações para o desastre da Fortune: a revista olhou o passado, não o futuro. Se for verdade, temos um típico caso de regressão à média, um fenômeno muito conhecido pelos estatísticos e financistas.

Um exemplo muito conhecido de regressão à média ocorre nos esportes. Quando um atleta se destaca numa competição seu nome vai para as manchetes. Mas o destaque do atleta ocorreu em razão do seu desempenho estar muito acima da sua média histórica de desempenho. Na próxima competição seu padrão volta ao normal - regride à média. É muito conhecido o azar da capa da Sports Illustrated, onde o atleta que aparece na capa piora o desempenho. Explicado pela regressão à média.